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ピタゴラスと三平方の定理【湯川校/清水町】

ピタゴラスと三平方の定理について取り上げてみたいと思います。

 

 ピタゴラスの業績で最も有名な定理と言えば「ピタゴラスの定理」または「三平方の定理」があります。中学で学習する内容の面積に関する定理です。


 直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという定理です。すなわち、直角をはさむ二辺の長さをそれぞれa、b、斜辺の長さをcとすれば

 

         a  +  b2  = C 

 

となります。直角三角形の底辺の2乗と高さの2乗の合計が、斜辺の2乗に等しいという内容です。中三で学習する内容ですが、応用方法はたくさんあります。

 例えば、直角三角形の斜辺の長さを求めたいのであれば、底辺と高さの二乗和の平方根をとればよいのです。2つの長さが分かれば、もう1つの長さがわかる定理です。

 

            {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

 

 他にもa,bをもとめたいのであれば、

 

        {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}={\sqrt {(c+b)(c-b)}}}

 

        {\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {(c+a)(c-a)}}}

 

 

ピタゴラスのテキスト

 

 ピタゴラスの定理と言われているのは、紀元前300年ころにユークリッド(エウクレイデス)によって著された数学の古典で,『ユークリッドの原論』※ と訳される本に「三平方の定理」が掲載されているからです。

『ユークリッドの原論』 第1巻の命題47は「三平方の定理」(これが「ピタゴラスの定理」)です。命題48はその逆定理です。

 

 

『エウクレイデス全集【全5巻】』斎藤憲・三浦伸夫/訳 東京大学出版会 

 古代ギリシャの数学者、エウクレイデス(英語名:ユークリッド)の、本邦初訳を含む全集の第1巻。第1巻では、ピュタゴラスの定理などの命題が入った『原論』I-VIを収録。『原論』は全13巻からなり(XIV、XV巻は後の数学者が付加したとされる)、その成立はおおむね紀元前300年頃と考えられている。約15万語の本文と多数の図版からなる、当時の数学の論証数学の基礎的知識を集大成した書物である。※東京大学出版会HPより転載。

 

 

次に、三平方の定理の証明についてです。

証明のやり方ご紹介します。

 

①大きな正方形の中に内接する小さな正方形を作ります。

②大きな正方形の面積を求めます。

③内接する小さな正方形の面積と、直角三角形の面積を求め合計します。

 

・大きな正方形の面積の求め方

 

大きな正方形の面積 = (小さな正方形の面積)+(直角三角形の面積 × 4)

大きな正方形の面積は (a + b)2,

小さな正方形の面積は c2,

直角三角形4個の面積の合計は

 

 

です。これらを③の式に代入すると、

 

 

整理して

 

となります。

 

 今の日本の教科書に載っている証明には、ピタゴラスが証明を与えたものが多くあります。その一つが三角形の内角の和です。今度は三角形の内角の和を取り上げていきます。

 

 

 

さて、ここまでのところ理解していただけましたか?

 

三平方の定理は試験で出てきます。三平方の定理やその他の計算問題、図形問題、関数の問題で困ったら、塾の先生に質問してみてください。

詳しく教えてくれるはずです。

 

 

疑問点はそのままにせず、質問して解消していきましょう。

 

 

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